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名师的这一招太牛了:避开复杂计算 “一网打尽”不出现漏解
中考数学能否取得高分,12分的压轴题很是关键。初三复习阶段,很多考生花了大量的时间,就是用来对付压轴题。“可到了这个时间点,学生没有过多时间也没有过多精力来进行题海训练,一定要抛弃高耗能低效率的‘百题百解’,追本溯源,洞悉本质,追求低耗能高效率的‘千题一解’。”杭城数学名师、十五中教育集团李春梅老师,经过多年一线教学的摸索和积累,对解“动态平行”这一类题型很有心得。她的这套解题办法,具有两个明显优势:一是化繁为简,避开复杂的计算;二是“一网打尽”,不会出现漏解。
李春梅
杭十五中教育集团数学教研组长,杭州市教坛新秀、杭州市优秀教师、杭州市学生最喜爱老师,曾获得西湖区首席教师等荣誉,所撰写的多篇教育教学论文获省、市、区一等奖。
要害点拨
抓住“点的运动” 就能迅速化繁为简
例题呈现:
抛物线 y=x2-■x-1过B(-■,0), D(■,-1)两点,点G在抛物线上,点F在x轴上,以B,D,F,G为顶点的四边形是平行四边形,求点F的坐标。
李老师点拨:这是一个常见的动态平行问题,绝大多数学生会采用构造一次函数的解题路线,或者选择构造相似三角形的解法,这些方法都是可行的,但是存在明显的缺点:一个缺点是计算量偏大,另一个缺点是容易漏解。
其实,这个问题的解决只要抓住“点的运动”这一关键就可以迅速化繁为简了,同时还可以有效避免前面提到的计算量大,容易漏解的问题,我们来看一下解决过程。
解:由于以B,D,F,G为顶点的四边形是平行四边形,因此线段BD既可以作为平行四边形的边,又可以作为平行四边形的对角线。
(1)当线段BD作为平行四边形的边时,我们可以发现有BD∥FG或BD∥GF两种可能,从点的移动的角度考虑就会发现
点B(-■,0)■点D(■,0),相应的则有
①点F(x,0)■点G(x+2,-1),由于点G在抛物线上,所以将点G的坐标带入二次函数解析式y=x2-■x-1,有(x+2)2-■(x+2)-1=-1,解得x=-2或x=-■(与点B重合,舍去),即F1(-2,0);
②点F(x,0)■点G(x-2,1),由于点G在抛物线上,所以将点G的坐标带入二次函数解析式y=x2-■x-1,有(x-2)2 -■(x-2)-1=1,解得x=
■,即F2(■,0),F3(■,0);
(2)当线段BD作为平行四边形的对角线时,点B与点D的中点坐标为(■,-■),设点F的坐标为(x,0),则容易得G(1-x,-1),由于点G在抛物线上,所以将点G的坐标带入二次函数解析式y=x2-■x-1,有(1-x)2 -■(1-x)-1=-1,解得x=1或x=-■(与点B重合,舍去),即F4(1,0)。
综合以上可以得到点F的坐标分别为:
F1(-2,0),F2(■,0),F3(■,0),F4(1,0)。
李老师点拨:这道题目,分值为4分,在中考数学题卷中出现时,是压轴题的最后一个小题目,难度系数不低。这样解下来,计算过程不繁琐,而且四个答案全部得出,4分全得。
如果对动态平行问题的理解只满足于形式上的理解、记忆,忽视其来龙去脉、知识串联,只注重其内涵,忽视其外延;对逻辑关系缺乏整体的认识,就会出现丢解,计算出错等情形,甚至会陷入“暴力求解”的死循环,耗费大量宝贵时间。
以此类推,其他知识点也同样如此。到了初三,临近中考,学生更要注意回归到知识点的本质问题,比如求三角形的面积,有不少学生往往会忽视最本质的“(底*高)/2”,而采用其他各种复杂的求解方法,让简单的问题变得复杂。在冲刺阶段,只要能够寻求在合适水平上的合理解答,数学方面的漏洞可以随着理解的深入逐渐得到弥补,祝同学们都能考出理想的成绩